Pt đã cho luôn luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=23\\x_1x_2=-m^2-14\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=23-m^2-14=9-m^2\le9\)

\(P_{max}=9\) khi \(m=0\)

\(P_{min}\) không tồn tại

x2^2-x1x2+2(m-2)x1=m^2-6m+23

=>x2^2+x1(x1+x2)-x1x2=m^2-6m+23

=>(x1+x2)^2-2x1x2=m^2-6m+23

=>(2m-4)^2-2(-7)=m^2-6m+23

=>4m^2-16m+16+14-m^2+6m-23=0

=>m=7/3 hoặc m=1

a, Phương trình có hai nghiệm khi 

\(\Delta'=m^2-2\left(m^2-2\right)=-m^2+4\ge0\Leftrightarrow-2\le m\le2\)

b, Theo định lí Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=\dfrac{m^2-2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=\left|2x_1x_2+x_1+x_2-4\right|\)

\(=\left|m^2-2-m-4\right|\)

\(=\left|\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\right|\)

\(=\left|-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{25}{4}\right|\le\dfrac{25}{4}\)

\(maxA=\dfrac{25}{4}\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=1-(m+2)\geq 0\Leftrightarrow m\leq -1$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2$

$x_1x_2=m+2$
Khi đó:
\(\text{VT}=\sqrt{[(x_1-2)^2+mx_2][(x_2-2)^2+mx_1]}=\sqrt{[(x_1-x_1-x_2)^2+mx_2][(x_2-x_1-x_2)^2+mx_1]}\)

\(=\sqrt{(x_2^2+mx_2)(x_1^2+mx_1)}=\sqrt{x_1x_2(x_2+m)(x_1+m)}\)

\(=\sqrt{x_1x_2[x_1x_2+m(x_1+x_2)+m^2]}\)

\(=\sqrt{(m+2)[m+2+2m+m^2]}=\sqrt{(m+2)(m^2+3m+2)}\)

\(=\sqrt{(m+2)^2(m+1)}\)

Lại có:

\(\text{VP}=|x_1-x_2|\sqrt{x_1x_2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2x_1x_2}=\sqrt{[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]x_1x_2}\)

\(=\sqrt{-4(m+1)(m+2)}\)

YCĐB thỏa mãn khi:

$\sqrt{(m+1)(m+2)^2}=\sqrt{-4(m+1)(m+2)}$

$\Leftrightarrow (m+1)(m+2)^2=-4(m+1)(m+2)$

$\Leftrightarrow m=-1; m=-2$ hoặc $m=-6$ (đều tm)

Sửa đề: \(x_2^2-x_1^2=2\)

Ta có: \(\Delta=\left[-\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-2m+2\right)\)

\(=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)\)

\(=m^2-6m+9+8m-8\)

\(=m^2+2m+1\)

\(=\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-3\\x_1\cdot x_2=-2m+2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4\cdot x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=m^2-6m+9+8m-8=m^2-2m+1\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=m-1\)

Ta có: \(x_2^2-x_1^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)\left(m-3\right)=2\)

\(\Leftrightarrow m-3-m^2+3m-2=0\)

\(\Leftrightarrow-m^2+4m-5=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+5=0\)(Vô lý)

Vậy: Không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \(x_2^2-x_1^2=2\)

\(\Delta=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)=\left(m+1\right)^2\ge0\) ;\(\forall m\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-3\\x_1x_2=-2m+2\end{matrix}\right.\)

\(x_2^2-x_1=2\Leftrightarrow x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2-x_1=2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)x_2+2m-2-x_1=2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2-\left(x_1+x_2\right)+2m-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2-m+3+2m-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2=-m+1\Rightarrow x_2=\dfrac{-m+1}{m-2}\)

\(\Rightarrow x_1=m-3-x_2=\dfrac{m^2-4m+5}{m-2}\)

Thế vào \(x_1x_2=-2m+2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{-m+1}{m-2}\right)\left(\dfrac{m^2-4m+5}{m-2}\right)=-2m+2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\\dfrac{m^2-4m+5}{\left(m-2\right)^2}=2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

(1) \(\Leftrightarrow m^2-4m+5=2m^2-8m+8\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=3\end{matrix}\right.\)

Đây chắc chắn là 1 đề bài sai (pt giải ra m là 1 pt bậc 3 hệ số xấu)

Bạn kiểm tra kĩ lại đề bài, phần hệ số các ẩn của pt bậc 2 ấy